Le LMAC est une équipe de Mathématiques appliquées de l’Université de Technologie de Compiègne qui a vocation à former des ingénieurs. La volonté du LMAC est donc de s’intéresser à la fois à des questions de nature théorique et à des applications variées.

Ces applications peuvent venir de l’industrie (EDF, ONERA, IFP, SNECMA...) comme de collaborations pluridisciplinaires (médecine, mécanique,...). A ce titre, l’équipe participe de manière active à plusieurs projets du Pôle Modélisation de la Région Picardie ainsi que l’Axe Mobilisateur : Homme Technologie et Systèmes Complexes. L’activité de l’unité de recherche est centrée sur deux composantes :

• Une composante déterministe qui se concentre sur l’analyse mathématique et numérique des systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles. L’équipe se focalise sur les problématiques liées aux problèmes inverses (identifiabilité, identification numérique, stabilité).
• Une composante stochastique dont l’activité est tournée vers l’approximation de systèmes aléatoires complexes et l’estimation semi-/non paramétrique.

L’analyse mathématique et numérique des problèmes inverses dans les équations différentielles et aux dérivées partielles ainsi que leurs applications aux problèmes socio-économiques et industriels, constitue le cœur du thème de recherche de la première composante. Ce sujet est en plein essor tant au niveau national qu’international. De nombreux problèmes de la physique, chimie, de la biologie et de la géophysique sont modélisés par des systèmes d’équations différentielles ou aux dérivées partielles qui décrivent le comportement temporel ou spatio-temporel des inconnues du modèle. La résolution de ces équations constitue ce que l’on appelle le problème direct. Cela ne peut se faire que si tous les paramètres du système sont connus : les conditions initiales et aux limites, les coefficients intervenant dans les équations, ainsi que le domaine spatial.

Dans la pratique certains paramètres sont inconnus ou mal connus (coefficients des cinétiques de modèles biochimiques ou aérodynamiques, coefficients de diffusion dans des équations paraboliques, fissures ou obstacles dans des problèmes élastiques ou acoustiques, termes sources dans des problèmes elliptiques comme l’électro-encéphalo-graphie (EEG) ou dans des équations paraboliques de pollution de rivière, certaines conditions initiales en météorologie, certaines conditions aux limites, etc.). La détermination de ces paramètres à partir de données expérimentales constitue ce que l’on appelle le problème inverse. Sa résolution fournit une information primordiale à l’expérimentateur qui, en général, possède un modèle de son système, mais avec une large incertitude sur les paramètres. La difficulté principale du problème inverse est qu’il est mal posé dans le sens d’Hadamard. Principalement les deux points suivants lui font défaut :

• L’unicité de la solution : identifiabilité
• Sa dépendance continue par rapport aux données : stabilité

L’absence de stabilité est problématique, en particulier en vue d’une résolution numérique. Ce qui implique des méthodes dites de régularisation. La non-unicité est un problème sérieux. Dans le cas de plusieurs solutions, il faut un moyen de choisir entre elles. Pour cela il faut disposer d’informations supplémentaires (informations a priori). Les thèmes abordés sont :

• Identifiabilité structurelle de modèles paramétriques représentés par des systèmes d’équations différentielles non-linéaires ou non, éventuellement avec retard.
• Estimation numérique des paramètres des modèles précédents, extension aux équations aux dérivées partielles
• Méthode des équations intégrales et application
• Problèmes inverses de sources
• Optimisation de forme et problème inverse de conductivité
• Contrôle actif de dispositifs de transport de fluides
• Approximation et ondelettes. L’approximation Padé multivariée et l’analyse multifractale sont étudiées en elles mêmes. Dans l’étude d’un processus, quelle que soit sa nature, les questions de l’approximation des trajectoires et de l’approche de sa complexité sont importantes. L’approximation Padé multivariée et l’analyse en ondelette permettent des réponses aux questions précédentes aussi bien dans un cadre statistique ou mathématique que dans certains domaines d’applications comme le biomédical ou l’acoustique industrielle.

Les domaines d’application sont :

• Biomédical : localisation de sources épileptiques en EEG,…
• Environnement : identification de sources de pollution
• Aérospatiale : identification de sources de bruit
• Aéronautique : identification de coefficients aérodynamiques
• Pharmacocinétique : identification de coefficients
• Energie : calcul d’écoulements de pétrole dans un réservoir avec puits

Les techniques utilisées par l’équipe pour s’attaquer à ces problèmes vont de l’analyse appliquée à l’analyse numérique.

L’approximation des systèmes aléatoires et l’estimation de leurs lois constituent la base du second thème. Dans l’étude de systèmes aléatoires réels on doit faire face à plusieurs problèmes tels que leur complexité de traitement numérique, l’estimation des fonctions qui gouvernent l’évolution de ces systèmes à partir de leur observation ou de données échantillonnées, la validation des modèles décrivant l’évolution des systèmes, etc. Les applications de ces travaux sont essentiellement tournées vers la fiabilité, l’analyse de survie, la maintenance de systèmes complexes et plus récemment vers la biologie.

Les processus semi-markoviens sont au cœur de la modélisation stochastique appliquée, ces processus généralisent les processus de Markov et les processus de renouvellement. En fait, le temps de séjours dans les états des processus semi-Markoviens ne suivent pas forcement la loi exponentielle, comme c’est le cas dans les processus de Markov, mais une loi quelconque sur R+. Cela laisse entrevoir déjà la grande généralité de ces processus par rapport aux processus de Markov. Les axes développés autour des systèmes semi-markoviens sont les suivants :

• Approximations stochastiques : approximation, en moyenne, de diffusion et de Poisson, de fonctionnelles de processus ou des systèmes perturbés par des processus semi-markoviens. Les modèles connus sous le terme « évolution aléatoire » constituent un cadre mathématique naturel de ces approches. Ces résultats sont obtenus par des techniques de convergences faibles, où des schémas généraux et particuliers de démonstrations ont été développés. Ces résultats permettent l’étude des systèmes complexes de l’ingénieur (fiabilité, risques, performances, etc.) en les simplifiant dans un cadre contrôlé mathématiquement.

Les systèmes stochastiques étudiés dans cet axe de recherche sont les systèmes dynamiques, les fonctionnelles additives, les fonctionnelles intégrales, les processus des accroissements, les processus impulsives, etc. Tous ces modèles sont perturbés par des processus semi-Markoviens ou Markoviens généraux et dont l’espace d’états est considéré dans un schéma de consolidation asymptotique.

• Estimation non-paramétrique : dans le cadre de processus semi-markoviens à états cachés ou non, nous proposons des estimateurs des noyaux semi-markoviens et des fonctionnelles statistiques non-linéaires. Une modélisation compète de la fiabilité basée sur deux modes d’observation a été développée: observation d’une trajectoire, censurée au temps T, et observation des K-trajectoires censurées. Ces résultats incluent l’estimation de la fiabilité, du temps de défaillance, de la disponibilité, du temps moyen jusqu’à la défaillance, de l’intensité du processus de défaillance, etc.

• Etudes spécifiques de processus : modélisation de systèmes semi-markoviens en utilisant la théorie du renouvellement markovien (existence et unicité de solution, solution asymptotique). Processus contrôlés et entropie de processus semi-markoviens à espaces d’états généraux.

Dans les études statistiques il faut être capable de proposer des modèles « souples » avec des procédures d’estimation qui tiennent compte de la nature des observations. En durée de vie comme pour les mélanges nous nous intéressons à des modèles non-paramétriques ou semi-paramétriques qui permettent d’obtenir une plus grande souplesse des modèles (par rapport à l’approche paramétrique) en prenant en compte, par exemple, l’effet de variables explicatives. D’autre part, les données recueillies peuvent être incomplètes (censure) ou manquantes (mélanges), ce qui conduit au développement de méthodes d’inférence ad hoc. Les axes développés autour de cette problèmatique sont les suivants :

• Processus empiriques : processus basés sur des statistiques d’ordre généralisées, processus hybrides, approximations et étude des caractéristiques de ces processus.
• Censure progressive : estimation non-paramétrique de la fiabilité, des quantiles, régression semi-paramétrique de Cox, tests d’homogénéité.
• Inférence en données censurées : test d’homogénéité en régression non-paramétrique, analyse séquentielle pour des modèles semi-paramétriques.
• Mélanges de lois : identifiabilité des paramètres de modèles de mélanges finis et estimation semi-paramétrique des composantes des mélanges. Généralisation de l’algorithme EM dans un cadre semi-paramétrique.

Les domaines d’application sont :

• Aéronautique : optimisation de la maintenance sous contrainte de fiabilité (SNECMA).
• Energie : modélisation de propagation de fissures par des équations différentielles stochastiques (CEA), estimation des températures par des processus markoviens (Gaz de France), modélisation de la dégradation avec prise en compte de l’environnement par des processus de Markov non-homogènes (EDF).
• Biologie : étude de séquences ADN via des chaînes semi-markoviennes cachées, étude de différentiation de gènes (puces ADN) via des mélanges semi-paramétriques.
• Télécommunications : étude de la fiabilité des réseaux de télécommunications (Pôle Région Picardie, UPJV).