2. Inférence statistique

Plutôt que d’approcher stochastiquement les systèmes étudiés, on peut chercher à estimer les paramètres qui caractérisent leur état ou leur évolution par des méthodes statistiques. C’est le deuxième axe principal de nos recherches.

2.1 Inférence non paramétrique (Sergio ALVAREZ, Salim BOUZEBDA, Ghislaine GAYRAUD, Nikolaos LIMNIOS )

Nous cherchons à mettre en œuvre des méthodes d’estimation et d’inférence dans un cadre non-paramétrique, par exemple pour des processus.

Dans le second grand volet de son étude fine de la loi des processus aléatoires, le LMAC encourage Nikolaos LIMNIOS à poursuivre ses travaux sur l’estimation non paramétrique des processus semi-markoviens et des processus semi-markoviens cachés. L’objectif est d’estimer le noyau semi-markovien à partir des réalisations des systèmes étudiés. Concernant les estimateurs des fonctions de fiabilité et de disponibilité obtenus comme fonctions des estimateurs des taux de transition précédents, nous avons établi des résultats asymptotiques concernant la convergence forte et leur normalité. Nikolaos LIMNIOS souhaite poursuivre ces investigations, en collaboration avec Brahim OUHBI (ENAM Meknès), G. Tsaklidis (Univ. Thessalonique), Ghislaine GAYRAUD et Salim BOUZEBDA. Une interaction avec M.L. Gamiz, (Université de Grenada), vient d’être initiée, sur l’estimation non paramétrique par des méthodes du noyau.

Une partie essentielle des travaux actuels et des projets à court terme de Ghislaine GAYRAUD trouvent leur place dans le cadre Bayésien non-paramétrique, et sont motivés de manière essentielle par les applications. Il s’agit ici d’étudier la consistance et les vitesses de concentration de la probabilité a posteriori dans différents modèles non-paramétriques. Dans cette direction, le développement des travaux de Ghislaine GAYRAUD, initiés sur le problème d’estimation d’ensembles à niveau, puis par le co-encadrement de la thèse de J. Arbel (co-encadrement avec J. Rousseau, Université Paris Dauphine), s’inscrivent pour une partie d’entre eux dans le cadre de l’ANR « Banhdits » (ANR en cours), et est envisagé dans le cadre :

• des processus semi-markoviens. Ces dernières permettront d’estimer la fiabilité des systèmes de manière performante notamment dans le cas d’un nombre faible de données. Ce projet a été déjà initié en collaboration avec Nikolaos LIMNIOS et a des applications naturelles à la fiabilité des systèmes.

• des quantiles conditionnels, qui constituent une alternative intéressante à l’espérance conditionnelle pour l’exploration et la modélisation de la nature de dépendance des variables expliquées relativement aux variables explicatives. Ce travail fait l’objet d’une collaboration initiée en 2010 avec L. Petrella et M. Bernardi (Sapienza, Université de Rome), en visite au LMAC à l’automne 2011.

• des densités à symétrie sphérique, dans le cadre d’une collaboration avec D. Fourdrinier (Université de Rouen), en considérant d’une part disposer d’un échantillon de taille n de données de dimension d et d’autre part lorsque la dimension des données d tend vers l’infini.

Sergio ALVAREZ se propose d’étudier plus avant les applications de ses méthodes d’approximations et d’estimations pour les processus empiriques, dans le contexte d’application naturel de l’inférence statistique, comme par exemple les modèles de censure progressive du type II. Sur ces sujets, Sergio ALVAREZ souhaite poursuivre ses collaborations, fructueuses jusque-là, avec Laurent BORDES (Univ. Pau) et N. Balakrishnan (Mc Master, Canada). Il envisage par ailleurs de rejoindre l’expertise d’autres membres de l’équipe sur ces questions, et notamment Salim BOUZEBDA (voir paragraphe suivant) avec lequel une interaction a débuté récemment.

2.2 Tests d’hypothèses non-paramétriques et semi-paramétriques (Salim BOUZEBDA, Ghislaine GAYRAUD)

Cette thématique est tout à fait centrale centrale pour notre équipe. Dans le cadre non-paramétrique, les travaux de Ghislaine GAYRAUD portent principalement sur les données dépendantes et les données parcimonieuses (sparsity). Ses recherches actuelles et ses perspectives trouvent leur place dans les cadres suivants:

• les processus semi-markoviens, au sujet desquels Ghislaine GAYRAUD mène actuellement une collaboration avec V. Barbu (Université de Rouen), qui rejoint naturellement les travaux de N. Limnios sur ce thème.

• les données spatiales issues d’un modèle de régression, dans un projet en cours et en collaboration avec S. Dabo-Niang (Université de Lille 3).

• la détection de signal. Ghislaine GAYRAUD a entamé avec Y. Ingster (Université de St Peterbourg) une collaboration sur ce problème, dans un système constitué d’un très grand nombre de canaux. A partir d’une condition de parcimonie sur le nombre de canaux effectivement actifs, nous nous intéressons à la résolution minimax du problème. Sur un sujet voisin, un travail collectif sur les modèles de déconvolution aveugle est initié par Ghislaine GAYRAUD avec E. Gautherat (Université de Reims), et se poursuivra à trois avec Vincent ROBIN (LMAC) sur le thème de l’inférence statistique sur une distribution définie sur le plan complexe dans un problème de déconvolution aveugle bruité. Il s’agit de reconstruire la loi sous-jacente à partir de données bruitées issues d’un modèle de déconvolution.

Dans le même cadre semi-paramétrique, Salim BOUZEBDA s’est intéressé à l’étude de la structure des lois multivariées semi paramétriques. Dans le but de résoudre le problème des tests d’indépendance, il a proposé de nouveaux critères statistiques, avec A. Keziou (Université de Reims). Leur collaboration, encore très active, sera poursuivie, notamment sur l’inférence portant sur les modèles de rupture dans le cadre semi paramétrique.

Autre thème : 3. Applications aux systèmes stochastiques complexes